Нет, не может. В соответствии с действующим законодательством, больничный лист по уходу за ребенком формируется и оплачивается матери, отцу, бабушке, другим родственникам, опекуну, попечителю ребенка.
Исходя из положений Семейного кодекса Российской Федерации, гражданский муж матери ребенка, не являющий ни его отцом, ни усыновителем, ни опекуном либо попечителем, не считается его родственником или членом семьи. Соответственно, ему не может быть выдан лист нетрудоспособности в связи с уходом за таким ребенком.